QUE ES UNA TAUTOLOGIA EN LOGICA

*
Cited by wallpapersidea.com
*
Cited by Google
*
Similars in wallpapersidea.com
*
Similars in Googly también
*

ARTÍCULO ORIGINAL

Lógica dy también las tautologías

Logic of thy también tautologies

Lógica das tautologias

Manuel Sierra-Aristizábal1

1 Magíster en Matemáticas, msierra
eafit.edu.co, profesor, Universidad EAFIT, Medellín-Colombia.

Tu lees esto: Que es una tautologia en logica

Recepción: 01-jun-2011. Modificación: 09-abr-2012. Aceptación: 17-abr-2012

Se aceptan comentarios y/o discusiones al artículo

Resumen

Sy también presenta como extensión del cálculo proposicional clásico, el sistema deductivo LT: lógica de las tautologías. En el sistema LT, se formalizan las nociones meta-lógicas dy también tautología, contradicción, satisfacible, refutably también y contingencia. El sistema LT, es caracterizado con una semántica al estilo Kripke, y puedy también ser visto como una extensión del sistema dy también lógica modal S5.

Palabras claves: Tautología, contradicción, contingencia, lógica modal, mundos posibles.

Abstract

Is presented as extension of classical propositional calculus, the deductivy también system LT: logic of the tautologies. In the LT system, thy también meta-logical notions of tautology, contradiction, refutable and contingency are formalized. The LT system, is characterized as a Kripke-style semantic, and can be seen as an extension of the modal logic system S5.

Key words: Tautology, contradiction, contingency, modal logic, possibly también worlds.

Resumo

Apresenta-se como extensão do cálculo propocicional clássico, o sistema dedutivo LT: lógica das tautologias. No sistema LT, formalizam-sy también as noções meta-lógicas dy también tautologia, contradição, satisfatível, refutável e contingência. O sistema LT, é caraterizado com uma semántica ao estilo Kripke, e pode ser visto como uma extensão do sistema de lógica modal S5.

Palavras chaves: Tautologia, contradição, contingência, lógical modal, mundos possíveis.

uno Presentación

Con el cálculo proposicional clásico CP, los enunciados quy también tienen las siguientes estructuras: si lo uno entonces lo otro, lo primero y lo segundo, esto o aquello, eso no, y esto si y solapsique si aquello; se formalizan por medio de los conectivos lógicos: condicional, conjunción, disyunción, negación y bicondicional respectivamente. Además, CP se encuentra caracterizado por una semántica de valores dy también verdad, dondy también cada fórmula es verdadera o falsa mas no verdadera y falsa, y en la cual sy también da una interpretación precisa dy también los conectivos, de tal manera que, el valor de verdad dy también una fórmula se determina a partir de los valores dy también verdad de sus sub-fórmulas atómicas.

Dada una fórmula, a cada posibly también combinación de los valores de verdad de las fórmulas atómicas que figuran en ella sy también ly también llama una asignación. Se dicy también que una fórmula es una tautología si y solapsique si es verdadera para cada posible asignación, una fórmula es una contradicción si y solapsique si es falsa para cada posible asignación, una fórmula es satisfacible si y solapsique si es verdadera para alguna asignación, una fórmula es refutably también si y solapsique si es falsa para alguna asignación, una fórmula es una contingencia si y solamente si es verdadera para alguna asignación y falsa para otra. Resulta quy también los teoremas del cálculo proposicional tradicional son las tautologías y solo ellas. Para detalles ver <1> y <2>.

En esty también trabajo se presenta como extensión del cálculo proposicional clásico, el sistema deductivo LT. LT es la lógica de las tautologías. En el sistema LT, sy también formalizan las nociones meta-lógicas dy también tautología, contradicción, satisfacible, refutably también y contingencia. El sistema LT, es caracterizado con una semántica al estilo Kripke, y puede ser visto como una extensión del sistema de lógica modal S5(ver <3>). Las pruebas de valía y completitud, son presentadas de forma detallada.

El sistema LT sy también consigue a partir de CP, pidiendo que los teoremas de CP sean tautologías, que la conjunción dy también literales disjuntos (afirmación o negación dy también formulas atómicas diferentes) sea una contingencia, que la regla de inferencia Modus Ponens preservy también las tautologías, y quy también las tautologías sean verdaderas. Sy también agregan axiomas quy también permitan simplificar adecuadamente los anidamientos o secuencias de los operadores dy también tautología, contradicción, satisfacible, refutably también y contingencia. Los modelos para el sistema deductivo LT, son conjuntos de mundos posibles al estilo Kripky también (ver <4>), dondy también del mundo actual (en el cual se determina si una fórmula es tautología, contradicción, satisfacible, refutable, verdadera o falsa), sy también accede a mundos posibles en los cuales se representan las asignaciones dy también valores de verdad.

2. Sistema deductivo

El lenguajy también del sistema LT, consta de un conjunto enumerable de fórmulas atómicas; dy también los conectivos binarios , , , ; el conectivo unario ; y un conectivo unario + (operador dy también valía o tautología).

Definición 2.1 (Literales y operadores de verdad).

Si P es una fórmula atómica, se dicy también que P y P son literales (los literales asociados a P). Los literales L y T son asociados si hay una fórmula atómica P tal quy también L y T son asociados a P. Los literales L1, ..., Ln son disjuntos si para cada i, j tales que 1 ≤ i ≤ n, Li y Lj no son asociados.

La fórmula X es una contradicción, denotado ¬ X, si su negación es una tautología, es decir, ¬X + X. La fórmula X es refutable, deapreciado -X, si no es una tautología, es decir, -X + X. La fórmula X es satisfacible, desentido •X, si no es una contradicción, es decir, •X ¬X. La fórmula X es una contingencia, desentido *X, si es satisfacibly también y refutable, es decir, *X (•X -X). Los operadores +, ¬, -, • * y son llamados operadores dy también verdad.

El sistema LT, lógica dy también dy también las tautologías, consta dy también los próximos axiomas:

Ax•1 •(Luno ... Lk), dondy también Luno , ... , Ln son literales disjuntos.

AxCP Los teoremas del cálculo proposicional tradicional CP.

MP+ +(X Y) (+X +Y).

AxR X •X.

AxT -¬X •X.

Axy también -X ¬ + X.

El sistema LT tieny también 2 reglas dy también inferencia:

MP modus ponens, es decir, de X y X Y sy también infiery también Y.

R+ regla de validez, es decir, si X es un teorema dy también LT entonces

+X es un teorema de LT.

Sy también dice que una fórmula X es un teorema del sistema, si y solamente si X es la última fórmula dy también una sucesión finita dy también fórmulas del sistema, tales quy también cada una de ellas es un axioma del sistema o sy también infiere dy también dos fórmulas anteriores usando la regla dy también inferencia MP o se infiery también de una fórmula anterior utilizando la regla dy también inferencia R+. Si Γ es un conjunto de fórmulas del sistema, sy también dicy también que una fórmula X es un teorema del sistema a partir dy también Γ, si y solamente si X es la última fórmula dy también una sucesión finita dy también fórmulas del sistema, tales quy también cada una dy también ellas es un axioma del sistema o un elemento dy también Γ o se infiere de dos fórmulas anteriores utilizando la regla de inferencia MP o sy también infiery también de una fórmula anterior, la cual es un teorema de LT, utilizando la regla dy también inferencia R+.

En las pruebas de las prosituaciones quy también se presentan más adelante, sy también utilizaran resultados del cálculo proposicional tradicional CP. Sy también hará referencia a estos resultados simplepsique como LCP o leyes lógicas dy también CP (para detalles de las pruebas en CP ver <1> <2>).

Como consecuencia de la definición de los operadores de verdad, en la tabla 1 se tienen algunas caracterizaciones de los mismos.

*

Proposición 2.1 (Conjunción dy también tautologías. +(X Y) (+X +Y)).

Prueba 2.1. Por LCP sy también tienen (X Y) X y (X Y) Y, y por R+ se afirma que +((X Y) X) y +((X Y) Y). Utilizando el axioma MP+ y MP se infieren +(X Y) +X y +(X Y) +Y . Utilizando LCP se infiere +(X Y) (+X +Y). Para la recíproca, por LCP se tieny también A (B (A B)). Por R+ sy también infiery también +(A (B (A B))), usando MP+ y MP resulta +A +(B (A B)), como además por MP+ sy también tiene +(B (A B)) (+B +(A B)), entonces por LCP sy también consigue +A (+B +(A B)). Por lo que sy también infiere (+A +B) +(A B).

Prosituación 2.2 (substitución por equivalencia.). Sean F (X) una fórmula en la cual figura X, y F (Y) el resultado dy también cambiar en F(X) alguna ocurrencia dy también X por Y.

a. De X Y se deducy también +X +Y.

b. De X Y sy también infiery también F(X) F(Y).

Prueba 2.2. Para la party también a, supóngase quy también X Y, por equivalencia material resulta (X Y) (Y X), y por R+ sy también infiere +((X Y) (Y X)), por la proposición 2.1 sy también consigue +(X Y) +(Y X), usando LCP y el axioma MP+ se produce (+X +Y) (+Y +X), finalmente, utilizando LCP se concluye +X +Y . (utilizando las definiciones dy también los operadores dy también verdad, asimismo se prosiguen •X •Y, -X Y y ¬X ¬Y).

La parte b, sy también prosigue de la parte a, teniendo en cuenta que la equivalencia se preserva con los demás conectivos, para detalles ver <1> <2>.

3 Semántica

Definición 3.1 (Marco). La terna (S, M, R) es un marco si y solapsique si M es un factor del conjunto S, R es una relación binaria sobre S. Los elementos de S son llamados mundos posibles, el planeta posible M es el mundo actual, y R es la relación de accesibilidad.

En un marco (S, M, R), para K, N y F elementos de S, se satisfacen las siguientes restricciones:

RR. Para cada K, KRK.

RE. Si KRN y KRF entonces NRF.

RT. Si KRN y NRF entonces KRF.

Definición 3.2 (Modelo). Sea (S, M, R) un marco y F el conjunto dy también las fórmulas. (S, M, R, V) es un modelo si y solamente si V es una función (valuación) de S x F en 0,1 la como satisface las siguientes reglas o condiciones: Sean D un elemento de S, P una fórmula atómica, X y Y fórmulas arbitrarias,

Vat. V (D, P) = 1 ó V(D, P) = 0.

V V(D, X) = 1 V (D, X) = 0.

V V(D, X Y) = 1 V(D, X) = uno = V (D, Y).

V V(D, X Y) = 0 V (D, X) = 0 = V (D, Y).

V V (D, X Y) = 0 V (D, X) = uno y V (D, Y) = 0.

V V (D, X Y) = 1 V (D, X) = V (D, Y).

V + V (D, +X) = uno (N S)(DRN V (N, X) = 1).

VL Para cada planeta D en S, y para cada secuencia L1, ... , Lk de literales disjuntos, existy también un planeta N en S, tal que, DRN y V (N, L1 ... Lk) = 12.

Proposición 3.1. Caracterización semántica dy también los operadores de verdad. En un modelo (S, M, R, V).

V ¬. V (M, ¬Z) = uno (N S)(MRN) V (N, Z) = 0).

V•. V (M, •Z) = 1 (N S)(MRN y V (N, Z) = 1).

V-. V (M, -Z) = 1 (N S)(MRN y V (N, Z) = 0).

V*. V (M, *Z) = 1 (N S)(MRN y V (N, Z) = 1) y

(D S)(MRD y V (D, Z) = 0).

Prueba 3.1. De V+ se tieny también que, V (M, +Z) = 1 (N S)(MRN V (N, Z) = 1). Utilizando la definición dy también contradicción y la regla V se infiere que V(M, ¬Z) = 1 (N S)(MRNV (N, Z) = 0), por ende V¬.

Dy también V+ se tieny también que, V (M, + Z) = 1 (N S)(MRN V (N, Z) = 1). Por lo que, V (M, +Z) = 0 (N S)(MRN y V (N, Z) = 0), lo que por V y la definición de satisfacible significa que V (M, Z) = 1 (N S)(MRN y V (N, Z) = 1), por lo tanto V•.

De V• sy también tiene que, V (M, •Z) = 1 (N S)(MRN y V (N, Z) = 1). Lo cual por V y las definiciones dy también satisfacible y refutable, implica que V (M, -Z) = uno (N S)(MRN y V (N, Z) = 0), por lo tanto, V-. Finalmente, observar que V* es consecuencia inmediata de V• y V-.

cuatro Validez

Definición 4.1 (Validez). Sea X una fórmula. X es verdadera en el modelo (S, M, R, V) si y solo si V(M, X) = 1. X es válida si y solo si X es verdadera en todo modelo.

Definición 4.2 (Cadena).

Dado un marco (S, Ma, R), dondy también Ma, Na-uno ..., Et+2, Dt+1, Gt, son mundos posibles distintos en S y Ma es el planeta actual. Se dice que C = MaNa-uno ... Et+2Dt+1Gt es una cadena, una vez que se tienen MaRNa-1, ..., Et+2RDt+1 y Dt+1RGt.

Resulta entonces quy también una fórmula X no es válida si y solapsique si existe un modelo M = (S, M, R, V), en el cual X no es verdadera, es decir V (M, X) = 0. Por lo que, si la fórmula X no es válida, utilizando las reglas de las valuaciones, a partir dy también V (M, X) = 0, sy también construyy también un modelo M = (S, M, R, V) quy también refute la validez de la fórmula X, esty también modelo es llamado modelo refutador. Pero si la fórmula X es válida, entonces la edificación del modelo refutador fracasará, puesto que, en alguno de los mundos posibles (bien sea M o un planeta generado por la aplicación dy también las reglas) del modelo en construcción se presentará una inconsistencia3. En el momento en que fracasa el edificio del modelo refutador, entonces sy también produce una cadena de mundos posibles C = M... N... D tal que en D se presenta una inconsistencia, es decir, para alguna fórmula Z, V (D, Z) = uno y V (D, Z) = 0. En un caso así sy también dice quy también la cadena C es inconsistente.

En resumen, para phurtar la validez de una fórmula X, se supony también que la fórmula X no es válida, es decir, es falsa en el mundo actual M dy también un modelo, y a partir de esta incapacitación sy también construye el modelo refutador. Si tal modelo no existy también entonces sy también concluyy también quy también la fórmula X es válida.

Prosituación 4.1 (Preservación de la validez).

a. Si X es válida entonces +X es válida.

b. Si X y X Y son válidas entonces Y asimismo es válida.

Prueba 4.1. Para la parte a, supóngasy también quy también +X no válida, con lo que existy también un modelo refutador de +X, MO = (S, M, R, V) tal que +X no es verdadera en MO, es decir V (M, +X) = 0, por la regla V+ resulta que existe un mundo posible N tal quy también MRN y V (N, X) = 0. El modelo MO se encuentra formado por cadenas consistentes de la manera MN ... D, y además en el mundo M la fórmula +X toma el valor 0, y en el planeta N la fórmula X toma el valor 0. A partir del modelo refutador MO de +X se construye un modelo refutador MO´ dy también la fórmula X de la próxima manera: sy también toma como mundo actual del modelo MO´ el planeta N, como resultado se obtiene el modelo MO´= (S, N, R, V), el como por construcción se encuentra formado por cadenas consistentes N ... D, lo quy también quiere decir que MO´ es un modelo, y además de esto en el planeta actual N la fórmula X toma el valor 0, en consecuencia MO´ es un modelo refutador de la fórmula X, es decir X no es verdadera en el modelo MO´, con lo que X no es válida. Dy también lo precedente se concluye que si +X no es válida entonces X no es válida, es decir, si X es válida entonces +X es válida.

Para la parte b, supóngase que X y X Y son válidas. Si Y no es válida, entonces existy también un modelo tal que, en el mundo actual M, V (M, Y) = 0. Como X y X Y son válidas, entonces V (M, X Y) = 1 y V (M, X) = 1, por la regla V de V (M, Y) = 0 y V (M, X Y) = uno resulta V (M, X) = 0 lo cual es imposible. Por ende Y es válida.

Prosituación 4.2 (valía de los axiomas). Si X es un axioma dy también LT entonces X es válida.

Prueba 4.2 (validez dy también los axiomas). En el primer caso, si X es un teorema de CP, utilizando las reglas Vat, V , V , V, V y V , y procediendo como es frecuente para la validez del cálculo proposicional tradicional (para detalles del caso tradicional ver <1> <2>), se concluye que X es válida.

En el segundo caso, X es dy también la forma +(Y Z) (+Y +Z). Si esta fórmula no fuesy también válida, entonces existiría un modelo tal que en el planeta actual M, V (M, +(Y Z) (+Y +Z)) = 0, lo cual conforme la regla V significa V (M, +(Y Z)) = uno y V (M, +Y +Z) = 0, y de nuevo por exactamente la misma regla sy también obtienen V (M, +Y) = uno y V (M, +Z) = 0, de esta última por la regla V+ sy también infiere la existencia de un planeta N, tal quy también MRN y V (N, Z) = 0, y como V (M, +(Y Z)) = 1, por V+ sy también infiere V (N, Y Z) = 1, y como V (M, +Y) = 1, por V+ se obtiene V (N, Y) = 1, y como ya se tieny también V (N, Y Z) = 1, por V sy también produce V (N, Z) = 1, pero esto es imposible. Por lo tanto, +(Y Z) (+Y +Z) es válida.

En el tercer caso X es de la manera Z •Z. Si esta fórmula no fuesy también válida, entonces existiría un modelo tal que en el mundo actual M, V (M, Z •Z) = 0, lo que conforme la regla V significa V (M, Z) = uno y V (M, •Z) = 0, esto es V (M, + Z) = 0, resultando que V (M, + Z) = 1, usando la restricción RR sy también tieny también MRM, resultando que V (M, Z) = 1, es decir V (M, Z) = 0, lo cual no es el caso. Por lo tanto, Z •Z es válida.

En el cuarto caso X es de la forma -¬Z •Z. Si esta fórmula no fuesy también válida, entonces existiría un modelo tal quy también en el planeta actual M, V (M, -¬Z •Z) = 0, lo cual conforme las regla V significa V (M,-¬Z) = 1 y V (M, •Z) = 0, esto es V (M, + Z) = 0 y entonces V (M, + Z) = 1, usando la regla V- resulta que existe un planeta N, tal que MRN , y en el cual V (N, ¬Z) = 0, por la regla V¬ resulta que existe un planeta S, tal que NRS, y en el cual V (S, Z) = 1, pero por la limitación RT sy también consigue MRS, por lo que se infiery también V (S, Z) = 1, es decir V (S, Z) = 0, lo que es imposible, por lo tanto, -¬Z •Z es válida.

En el quinto caso X es dy también la manera -Z ¬ + Z. Si esta fórmula no fuesy también válida, entonces existiría un modelo tal que en el mundo actual M, V (M, -Z ¬ + Z) = 0, lo que conforme la regla V significa V (M, -Z) = 1 y V (M, ¬+Z) = 0, usando la regla V- sy también infiere la existencia de un planeta N, tal quy también MRN y V (N, Z) = 0, además por la regla V¬ resulta quy también existy también un mundo S, tal que MRS y V (S, +Z) = 1, utilizando la restricción Re se consigue SRN resultando que V (N, Z) = 1, lo cual es imposible, por lo tanto, -Z ¬ + Z es válida.

Finalmente, en el sexto caso X es de la forma •(L1 ... Lk) donde L1, ... , Lk son literales disjuntos. Si X no es válida, entonces existe un modelo, tal que en el planeta actual M, V (M, •(L1 ... Lk)) = 0. Por la regla VL, existy también un mundo N, tal quy también MRN, y en el como V (N, L1... Lk) = 1, pero como MRN y V (M, •(Luno ... Lk)) = 0, por la regla V• resulta quy también V (N, L1 ... Lk) = 0, lo que no es el caso. Por lo tanto, •(Luno ... Lk) es válida.

Proposición 4.3 (valía dy también LT). Si X es un teorema de LT entonces X es válida.

Prueba 4.3. Supóngase quy también X es un teorema dy también LT, sy también prueba que X es válida por inducción sobry también la longitud L de la demostración dy también X en LT. Paso Basy también L = 1. Si la longitud de la demostración dy también X en LT es uno entonces, X es un axioma dy también LT, lo que por la proposición 4.2 quiere decir que X es válida. Paso de inducción. Como hipótesis inductiva sy también tieny también quy también para cada fórmula Y , si Y es un teorema de LT y la longitud dy también la demostración dy también Y tiene longitud menor quy también L (donde L > 1) entonces Y es válida. Si X es un teorema dy también LT y la longitud dy también la demostración de X es L entonces, X es un axioma dy también LT, o X es consecuencia dy también aplicar MP en pasos precedentes dy también la demostración o X es consecuencia de aplicar la regla R+ en un paso precedente dy también la demostración. En el primer caso se procede como en el caso base. En el segundo caso se tienen en LT, para alguna fórmula Y, demostraciones dy también Y y dy también Y X, dondy también la longitud de ambas demostraciones es menor quy también L, usando la hipótesis inductiva se infiere que Y y Y X son válidas, y por la prosituación 4.1b, resulta que X es válida. En el tercer caso basta utilizar la prosituación 4.1a.

Ver más: Como Hacer Un Collage A Mano, Cómo Se Hace Un Collage Paso A Paso

cinco Completitud

Definición 5.1 (Extensión consistente y completa). Una extensión de un sistema deductivo, se consigue alterando el conjunto de axiomas de tal manera que, todos los teoremas del sistema sigan siendo teoremas, y quy también las reglas dy también inferencia dy también la extensión coincidan con las del sistema deductivo. Específicamente, una extensión y también dy también LT, se obtiene añadiendo como nuevos axiomas un conjunto dy también fórmulas Γ, donde, una fórmula X es un teorema de E, si y solapsique si, X es la última fórmula dy también una sucesión finita dy también fórmulas, tales que, cada una de ellas es un axioma dy también LT o un factor dy también Γ o sy también infiere dy también dos fórmulas anteriores utilizando la regla dy también inferencia MP o se infiery también de una fórmula anterior, la cual es un teorema de LT, utilizando la regla de inferencia R+ (por ende los teoremas de LT son teoremas dy también E). O dy también manera equivalente, una extensión e dy también LT, tiene como axiomas a los teoremas dy también LT junto con un conjunto dy también fórmulas Γ, las cuales no son teoremas de LT, donde, una fórmula X es un teorema dy también E, si y solapsique si, X es la última fórmula dy también una sucesión finita dy también fórmulas, tales que, cada una dy también ellas es un teorema dy también LT o un elemento de Γ o se infiery también de dos fórmulas anteriores usando la regla dy también inferencia MP (no sy también utiliza la regla de inferencia R+). Una extensión es consistenty también si no existe ninguna fórmula X tal que tanto X como X sean teoremas dy también la extensión. Un conjunto de fórmulas es inconsistente si de ellas sy también deriva una contradicción, es decir, si sy también deriva Z Z para alguna fórmula Z. Una extensión es completa si para toda fórmula X, del lenguajy también dy también la extensión, o bien X o bien X es teorema de la extensión.

Para llegar a la prueba de completitud en la proposición 5.7, sy también siguen las indicaciones dadas por Henkin en The completeness of thy también first order functional calculus <5>, por Kripke en Semantical analysis of modal logic <4> y por Kaplan en Review of Kripke <6>, para phurtar la completitud de la lógica de primer orden y del sistema modal T.

Prosituación 5.1. Extensión consistenty también dy también LT.

a. LT es consistente.

b. Sea y también una extensión consistente de LT. E X es consistenty también o EX es consistente.

c. Si e es una extensión dy también LT, X no es teorema dy también y también y Ex= e X, entonces, Ex es consistente.

Prueba 5.1. Para la party también a, supóngasy también que LT no fuese consistente, por lo que debe existir una fórmula X tal que tanto X como X sean teoremas. Entonces por la proposición 4.3, tanto X como X son fórmulas válidas, pero esto es imposible, en tanto que si X es una fórmula válida, entonces para todo modelo (S, M, R, V), se tienen V (M, X) = 1, es decir, conforme V , V (M, X) = 0, con lo que X no puede ser válida, lo que no es el caso. Por lo tanto, LT es consistente.

Para la parte b. Sea e = TLTΓ, donde TLT es el conjunto de teoremas dy también LT y Γ es un conjunto de no teoremas dy también LT. Si y también X es inconsistenty también entonces de y también = TLT Γ X sy también deducy también Y Y para alguna fórmula Y, por lo que existen A1, ... , An, en Γ, tales que de TLT A1, ... , An X se deducy también Y Y , es decir, dy también TLT A1, ... , An, X sy también deducy también Y Y , lo que por LCP quiere decir que dy también TLT se deduce (A1 ... An X), es decir, en LT se tieny también que (A1 ... An X), donde A1, ... , An están en E. De manera similar, si y también X es inconsistente, entonces existen B1, ... , Bk en E, tales quy también en LT sy también tiene (Buno ... Bn X). Dy también estos resultados se infieren (A1 ... An) X y (Buno ... Bk) X, por lo que sy también deduce (A1 ... An B1 ... Bk), y como A1, ... , An, B1, ... , Bk están en E, se concluye que y también es inconsistente.

Para la parte c, si Ex= y también X es inconsistente, entonces existen A1, ... , An en E, tales que en LT (A1 ... An X), es decir, (Auno ... An) X, y como A1, ... , An, están en E, sy también concluyy también que X es teorema dy también E.

Prosituación 5.2 (Extensión consistente y completa). Si y también es una extensión consistente dy también LT entonces existe una extensión consistenty también y completa de E.

Prueba 5.2. Sea X0, X1, X2, ... Una enumeración dy también todas las fórmulas dy también LT. Se construye una sucesión J0, J1, J2, ... De extensiones dy también y también como sigue:

Sea J0 = E. En general, dado t ≥ 1, para edificar Jta partir de Jt-1, sy también procedy también dy también la siguiente manera: si Jt-1 Xt-1 es consistente entonces Jt= Jt-uno Xt-1, y si Jt-uno Xt-1 es inconsistenty también entonces Jt= Jt-uno Xt-1.

Se tiene que y también es consistente, es decir, J0 es consistente. Dado t ≥ 1, si Jt-uno es consistente, entonces, por la proposición 5.1b, Jt es consistente. Así pues, por inducción, todo Jt es consistente. Se definstituto nacional de estadística ahora J, como aquella extensión dy también E, la cual tiene como axiomas a aquellas fórmulas que son axiomas dy también por lo menos uno dy también los Jt.

Sy también probará que J es consistente. Supóngasy también lo contrario, por lo que, hay una fórmula X tal que, tanto X como X son teoremas dy también J, ahora bien, las demostraciones de X y X en J son sucesiones finitas de fórmulas, de tal modo que cada demostración solapsique puedy también contener casos particulares de un número finito dy también axiomas dy también J, por lo que, deby también existir un t suficientemente grande, a fin de que todos estos axiomas utilizados sean axiomas de Jt, sy también deduce que tanto X como X son teoremas dy también Jt, lo que es imposible en tanto que Jt es consistente. En consecuencia J es consistente.

Para phurtar quy también J es completo, sea X una fórmula dy también LT, con lo que X deby también aparecer en la lista X0, Xuno , X2, ... Supóngase que X es Xk. Si Jk Xk es consistente entonces Xk está en Jk+1, y por ende asimismo está en J, y si Jk Xk es consistenty también entonces Xk está en Jk+1, y por lo tanto también está en J. Sy también concluye que J es completo.

Prosituación 5.3 (Consistencia subordinada). Si +Z1, ... , +Zk, •Y es consistenty también entonces Z1, ... , Z k, Y es consistente.

Prueba 5.3. Supóngasy también que Z1, ... , Zk, Y es inconsistente, con lo que (Zuno ... Z k Y), lo cual por LCP significa, (Z1 ... Z k) Y . Utilizando R+ resulta que +((Z1...Z k) Y), por MP+ sy también infiery también +(Zuno ...Z k) + Y, por la prosituación 2.uno se obtiene (+Z1 ... +Z k) + Y , lo cual, por LCP y la definición de satisfacibly también equivale a (+Zuno ... +Zk •Y), con lo que +Z1, ... , +Zk, •Y es inconsistente.

Definición 5.2 (Subordinado). Sean y también y F extensiones consistentes y completas de LT. Sy también dice quy también F es subordinado dy también y también si y solamente si existe una fórmula Z tal que, •Z en y también y Z está en F, y además para cada fórmula W, si +W está en e entonces W está en F.

Proposición 5.4 (Extensión subordinada consistenty también y completa).

a. Para y también una extensión consistenty también y completa dy también LT, si •X está en E, entonces, existe una extensión consistente y completa F dy también LT tal quy también X F y F subordinada de E.

b. Si e una extensión consistenty también y completa de LT, entonces, hay una extensión consistenty también y completa F de LT tal que F subordinada de E.

Prueba 5.4. Para la parte a, sea X una fórmula tal que •X está en E. Sea EX= X Z : +Z está en E, entonces por la proposición 5.3, EX también es consistente. Al adicionar a EX los axiomas dy también LT y todas sus consecuencias, sy también consigue una extensión de LT quy también incluye a EX, utilizando la prosituación 5.2, se construyy también una extensión consistente y completa F dy también LT la como incluyy también a EX. Como X está en EX , asimismo está en F. Si +W está en E, por definición W está en EX, con lo que W está en F. Por lo tanto, F es subordinado de E.

La parte b, es consecuencia dy también la party también a, al tomar en consideración que, por LCP y AxR, en LT se tiene •(P P).

Prosituación 5.cinco (Propiedades de la subordinacion). Para E, F y G extensiones consistentes y completas dy también LT.

a. Si F es subordinado dy también E, y G es subordinado de F, entonces G es subordinado de E.

b. Si F es subordinado dy también E, y G es subordinado dy también E, entonces G es subordinado dy también F.

c. F es subordinado de F.

Prueba 5.5. Para la parte a, supóngase que G es subordinado dy también F y F es subordinado dy también E. Como G es subordinado de F entonces existe en F una fórmula •Z tal quy también Z está en G. Si •Z no está en E, entonces al ser una extensión completa, •Z sí deby también estarlo, además por AxT sy también tieny también quy también —¬Z •Z está en E, por lo que —¬Z, o sea ++Z también está en E, y siendo F subordinado dy también y también resulta quy también +Z está en F, lo que significa que •Z está en F, pero esto es imposible ya que F es consistente. Por lo que, •Z está en E.

Sea W una fórmula, tal quy también +W está en E, esto es •W está en E, usando AxT —¬ W •W, resulta quy también —¬W está en E, por lo que ++W está en E, y como F es subordinado dy también E, se infiere que +W está en F, como además, G es subordinado dy también F, entonces W está en G. En resumen, hay una fórmula •Z en y también tal quy también para cada fórmula +W en y también sy también tieny también que Z y W están en G, y por lo tanto, G es subordinado dy también E.

Para la party también b, supóngasy también que F es subordinado de e y G es subordinado de E. Como G es subordinado de y también entonces existy también en e una fórmula •Z tal que Z está en G. Como •Z está en E, o sea —Z está en E, utilizando Axy también —Z ¬+Z, resulta que ¬+Z está en E, lo cual quiere decir que +•Z está en E, y como F es un subordinado dy también e entonces •Z está en F.

Supóngase quy también +W está en F. Si +W no está en E, entonces +W está en E, o sea —W está en E, usando Axe —W ¬ + W , sy también infiere que ¬+W está en E, o sea que ++W está en E, pero siendo F subordinado dy también e sy también tieny también que +W está en F, lo que es imposibly también puesto que F es consistente, y por lo tanto, +W está en E, y como G es subordinado de e entonces W está en G. Sy también concluye que, para cada +W en F resulta que W está en G. En resumen, existe una fórmula •Z en F tal que para cada fórmula +W en F sy también tieny también quy también Z y W están en G , y por lo tanto, G es subordinado dy también F

Para la party también c, sea X la fórmula P P, por lo que en LT sy también tieny también X, y como por AxR sy también tiene X •X, resulta •X, por lo que X y •X están en F. Supóngasy también que +W está en F, por AxR en F sy también tiene W •W, o sea +W W, resultando quy también W asimismo está en F. Por lo tanto, F subordinada de F.

Proposición 5.6 (Construcción dy también un modelo). Si E´es una extensión consistente dy también LT, entonces existy también un modelo en el cual todo teorema de E´es verdadero.

Prueba 5.6. Se define el marco (S, M E, R) de la próxima manera: sean E, F , G , ..., extensiones consistentes y completas de E´(y también la inicial y las demás subordinadas), presentadas en las prosituaciones 5.2 y 5.4. A cada extensión F, sy también ly también asocia un mundo posibly también MF, sean S el conjunto de tales mundos posibles y M e el planeta actual. La relación dy también accesibilidad R se construyy también así: MFRMG si y solapsique si G es subordinado de F.

Asociado al marco (S, M E, R), se definstituto nacional de estadística el candidato a modelo M = (S, M E, R, V) sobry también las fórmulas de LT haciendo para cada MF en S y para cada fórmula X, V (M F, X) = uno si X está en F, y V (M F , X) = 0 si X está en F, dondy también F es la extensión consistenty también y completa asociada a M F . Nótesy también que V es una función, por ser F consistenty también y completa. Ahora bien, puesto que F es consistente, entonces V (M F, X) ≠ V (M F, X) y por lo tanto, V (M F , X) = 1 V (M F , X) = 0, por lo que se satisfacy también la definición V . Para afirmar quy también M es un modelo, sy también debe garantizar que para cada uno dy también los conectivos, V satisface la definición de valuación.

Para el caso del condicional, se tiene la siguiente cadena dy también equivalencias: V (M F , X Y) = 0, esto es (X Y) está en F, o sea quy también X Y está en F, resultando quy también X y Y están en F, lo cual significa que V (M F , X) = uno y V (M F , Y) = 0, por lo que sy también satisfacy también la definición V

Para el caso dy también la conjunción, sy también tiene la próxima cadena dy también equivalencias: V (M F , X Y) = 1, o sea X Y está en F, por lo que X y Y están en F, lo que quiere decir que V (M F , X) = uno y V (M F , Y) = 1, por lo que sy también satisface la definición V .

Para el caso de la disyunción, sy también tiene la próxima cadena dy también equivalencias: V (M F , XY) = 0, o sea (XY) está en F, o sea que X Y está en F, dy también dondy también X y Y están en F, o sea V (M F , X) = 0 y V (M F , Y) = 0, con lo que se satisface la definición V.

Para el caso del bicondicional, sy también tiene la próxima secuencia de equivalencias: V (M F , X Y) = 1, esto es X Y está en F, con lo que (X Y) (X Y) está en F, lo que significa V (M F, (X Y) (X Y)) = 1, o de otra forma V (M F, X Y) = 1 o V (M F, X Y) = 1, es decir, V (M F , X) = V (M F , Y) = 1 o V (M F , X) = V (M F , Y) = 0, o dicho de otra manera V (M F , X) = V (M F , Y), por lo que se satisface la definición V .

Para el caso de la regla V+, dondy también M F es un planeta asociado a F, MG es un mundo asociado a G. Supóngasy también quy también V (M F , +Z) = 1, con lo que +Z está en F. Si MFRMG, entonces G es subordinada dy también F y Z está en G, resultando quy también V (M G , Z) = 1. Sy también ha probado de esta forma que V (M F , +Z) = 1) (MG S)(MFRMG V (MG , Z) = 1).

Para probar la recíproca, supóngase que (MG S)(MFRMG V (MG,Z) = 1). Si V (M F , +Z) = 0, entonces al ser M F el planeta asociado a la extensión consistente y completa F resulta que +Z está en F, con lo que •Z está en F. Por la proposición 5.cuatro existe una extensión consistente y completa G subordinada de F tal quy también Z está en G. Como MG es el planeta asociado a G, entonces MFRMG, lo cual, por el supuesto inicial implica V (MG, Z) = 1, o sea Z está en G, resultando que G es inconsistente, lo cual no es el caso. Por lo tanto, V (M F , +Z) = 1. Se ha probado de este modo quy también (MG S)(MFRMG V (MG,Z) = 1) = 1)) V (M F , +Z) = 1.

Para el caso de la regla VL, sea MF un mundo, y sea F la extensión consistente y completa de LT asociada. Si L1, ... , Lkes una secuencia de literales disjuntos, por Ax•. Sy también tieny también que •(L1 ... Lk) está en F, lo cual por la prosituación 5.4 implica que existy también G una extensión consistente y completa de LT tal que, Luno ... Lkestá en G y G es subordinada dy también F, resultando que MFRMG donde MG es el planeta asociado a G, y como Luno ... Ln está en G entonces V (MG , Luno ... Lk) = 1.

Con basy también en el análisis anterior, y teniendo en cuenta que las reglas RR, Ry también y RT, sy también encuentran garantizadas por la prosituación 5.cinco y la forma en que sy también construyy también el modelo, se concluyy también finalpsique quy también V es una valuación, y por lo tanto, M es un modelo.

Para concluir la prueba, sea X un teorema dy también E´, por lo que X está en E. Por lo tanto, usando la definición de V resulta que V (M E, X) = 1, es decir, X es verdadera en el modelo M = (S, M E, R, V).

Prosituación 5.7 (Completitud dy también LT). Si X es válida entonces X es un teorema dy también LT.

Prueba 5.7. Sea X una fórmula dy también LT. Si X no es un teorema, entonces, por la prosituación 5.1c, la extensión E´, lograda añadiendo X como nuevo axioma, es consistente. De esta manera pues, según la proposición 5.6, existe un modelo M tal quy también todo teorema de E´es auténtico en M, y como X es un teorema de E´, entonces X es verdadero en M, es decir, X es falso en M, y por lo tanto, X no es válida. Sy también ha probado {así es como |esasí que, si X no es un teorema dy también LT entonces X no es válida, o dicho dy también otra manera, si X es válida entonces X es un teorema dy también LT.

Prosituación 5.8 (Caracterización semántica de LT). X es válida si y solapsique si X es un teorema de LT.

Prueba 5.8. Consecuencia dy también las prosituaciones 4.tres y 5.7.

6 Interpretación canónica

En la tabla 2, se presenta el comportamiento de los operadores dy también verdad con los conectivos binarios usuales en LT. Observar quy también los resultados satisfacen de manera plena la interpretación canónica de los operadores dy también verdad (la manera como sy también prueban estos resultados sy también ilustra en la proposición 6.1).

*

Prosituación 6.1 (Disyunción dy también tautologías).

a. (+X +Y) +(X Y) y (X Y) (—X Y) son teoremas dy también LT.

b. Si L y T son literales disjuntos entonces (+L +T) +(L T) y —(L T) (—L T) son teoremas dy también LT.

Prueba 6.1. Para el primer enunciado de la parte a, por LCP se tienen X (X Y) y Y (X Y), por R+ resultan, +(X (X Y)) y +(Y (X Y)), utilizando MP+ y MP se infieren +X +(X Y) y +Y +(X Y), y por LCP resulta que (+X +Y) +(X Y).

Para refutar el recíproco, sean X = P y Y = P (donde P es una fórmula atómica). Por LCP se tiene P P, y por R+ resulta +(P P), además, por Ax• se tienen •P y •P, con lo que sy también obtienen +P y + P, y como LT es consistente, no sy también pueden tener ni +P ni + P, por lo tanto, +(P P) (+P + P) no es un teorema. Esta fórmula es refutada por el modelo con mundos M y D dondy también el planeta actual M accedy también a M y a D, y V (D, P) = 0 y V (M, P) = 1.

Para el segundo enunciado de la party también a, basta apreciar quy también (+X +Y) +(X Y) es equivalente a +(X Y) (+X +Y), por LCP equivaly también a +(X Y) (+X +Y), lo cual conforme la definición dy también refutably también significa —(X Y) (—X —Y).

Para la party también b, en la cual L y T son literales disjuntos. Supóngase quy también +(L T) (+L +T) es inválida, sy también construyy también el modelo refutador de +(L T) (+L +T) dy también la siguiente manera: Sea M el planeta actual dy también un modelo quy también refuta +(LT) (+L+T), si V (M, +(LT) (+L+T)) = 0 entonces, por V resultan V (M, +(LT)) = uno y V (M, +L+T) = 0, lo que por V quiere decir que V (M, +L) = 0 y V (M, +T) = 0. Como V (M, +L) = 0, por V+ se infiere la existencia dy también un planeta N, tal que MRN y V (N, L) = 0, como además de esto V (M, +(L T)) = 1, entonces por V+ resulta V (N, L T) = 1, y aplicando V sy también obtiene V (N, T) = 1. Como V (M, +T) = 0, por V+ se infiery también la existencia de un planeta D, tal quy también MRD y V (D, T) = 0. Como además de esto V (M, +(L T)) = 1, entonces por V+ resulta V (D, L T) = 1, y aplicando V se consigue V(D, L) = 1. Observar que como L y T son literales disjuntos, entonces por la regla VL, aparte de los mundos N y D, deby también existir otro planeta E, tal quy también MRE, y V (E, L) = V (E, T) = 0, o sea V (E, L T) = 0, resultando que V (M, +(L T)) = 0, lo que no es el caso, y por ende +(L T) (+L +T) no puedy también ser refutada, cuando L y T son literales disjuntos.

Como consecuencia de la definición de los operadores dy también verdad, en la tabla tres se tienen diferentes presentaciones de los axiomas:

*

En la tabla cuatro sy también presenta el comportamiento dy también los operadores dy también verdad con los literales disjuntos en LT (la forma como sy también prueban estos resultados se ilustra en la proposición 6.2).

*

Proposición 6.2 (Literales contingentes). La conjunción y la disyunción de literales disjuntos son satisfacibles, refutables y contingencias.

Prueba 6.2. Si L y T son literales disjuntos, por Ax• sy también consigue •(L T). Si L y T son literales disjuntos, asimismo lo son L y T, por Ax• resulta •(L T), lo cual por LCP significa •(L T), es decir —(L T). Supóngasy también quy también •(L T) no es válido, por lo que existe un modelo con mundo actual M tal que, V (M, •(L T)) = 0, como L es un literal entonces, por VL existy también un planeta N, tal quy también MRN y V (N, L) = 1. Mas de V (M, •(LT)) = 0, por V• resulta que V (N, L T) = 0, y por V se consigue V (N, L) = 0, lo que es imposible, y por lo tanto, •(L T) es válido. Observar que siendo L y T literales disjuntos, también lo son L y T, y como se acaba de probar, resulta •(L T), es decir, •(L T), o sea —(L T). Al ser la conjunción y la disyunción satisfacibles y refutables, resulta que son contingencias.

En la tabla 5 se presenta el comportamiento de los operadores de verdad con ellos mismos (reducciones) en LT (la forma como sy también prueban estos resultados se ilustra en la prosituación 6.3)

*

Prosituación 6.3 (Reducción dy también operadores dy también verdad).

Ver más: Niños Con Alergias En La Piel En Niños, Erupciones En Los Niños

a. + + X +X

b. ¬ + X —X

c. •—X —X

d.——X +X

e. *—X

Prueba 6.3. Para la party también a, observar en la tabla tres quy también + + X +X correspondy también a AxR, y quy también la recíproca corresponde a AxT. Observar quy también la party también b, por la definición dy también los operadores dy también verdad es equivalenty también a ++X +X, dy también la tabla 3 resulta que la implicación directa corresponde a AxR, y la recíproca correspondy también a AxE. De la party también a, sy también infiery también ++X +X, lo que por LCP implica + +X +X, y por la definición de operadores de verdad resulta •—X —X, es decir, la parte c. Ya se obtuvo + +X +X, es decir + +X +X, y por la definición de operadores dy también verdad resulta la parte d. Supóngase quy también *—X, por definición resultan ——X y •—X, utilizando las partes d y c, sy también infieren +X y —X, es